Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Сложная функция. Правила дифференцирования функции.

Если функция f имеет производную в точке х0, а функция g имеет производную в точке y0=f(x0)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х0, причем

h’(x0) = g’(f(x0))•f’(x0) (1)

Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что

Производная сложной функции

при Δx→0. Введем обозначения: Δy = f(x0+Δx)-f(x0)= Δf

Тогда Δh = h(х0 + Δх) - h(x0) = g(f(x0 +Δx)) - g(f(x0)) = g(y0 + Δy) - g(y0) = Δg.
Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x0.
Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х0. Тогда

Производная сложной функции 1

при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x0) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y0) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.

Дифференцирования сложной функции

Сложная функция (композиция функций, суперпозиция функций) обозначается ~f(g(x))или f\circ g(x).

Производная композиции равна:

\frac{d(f\circ g(x))}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).

Если необходимо взять производную от композиции трех и более функций, то последовательно применяем указанное выше правило. Например,

\frac{d(f\circ g\circ h(x))}{dx} = f'(g\circ h(x))\cdot \frac{d(g\circ h(x))}{dx} = 
f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x).

Вывод уравнения касательной к параболе. Свойство выпуклого параболического зеркала. Общее уравнение линий второго порядка и его частные случаи. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
Математика примеры решений Вычислить определенный интеграл