Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Возрастание и убывание функций.

Возрастание и убывание функции, функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а £ х < х' £ b выполняется неравенство f (x) £ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f (x'). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х2 (рис., а) строго возрастает на отрезке [0,1], а

(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x)­, а убывающие f (x)¯. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо и достаточно, чтобы её производная f'(x) была неотрицательной на [а, b].

Решение типовых задач по математике Метод замены переменной Конспекты лекций, лабораторные и задачи курсовых работ

  Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x0, если найдётся такой интервал (a, b), содержащий точку x0, что для любой точки х из (a, b), х> x0, выполняется неравенство f (x0) £ f (x), и для любой точки х из (a, b), х< x0, выполняется неравенство f (x) £ f (x0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x0. Если f'(x0) > 0, то функция f (x) строго возрастает в точке x0. Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.

Экстремум функции.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ' (x) > 0 (f ' (x) < 0).

Точка x0nназывается точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x0, для всех точек которой верно неравенство f(x) < f(x0 ) (f(x) > f(x0 )).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(x0) = 0, либо f '(x0) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть x0 - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус, то в точке x0 функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) имеет производную f '(x) в окрестности точки x0и вторую производную f ''(x0) в самой точке x0. Если f '(x0) = 0, f''(x0)>0, (f''(x0)<0), то точка x0 является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f''(x0)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием экстремума, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале и на отрезке

Вывод уравнения касательной к параболе. Свойство выпуклого параболического зеркала. Общее уравнение линий второго порядка и его частные случаи. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
Математика примеры решений Вычислить определенный интеграл