Линейная алгебра и аналитическая геометрия

. Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

1. Чтобы исследовать функцию на наибольшее (наименьшее) значение на интервале , надо исследовать ее, если это возможно, на отрезке . Если наибольшее (наименьшее) значение достигается функцией во внутренней точке отрезка , то оно будет наибольшем (наименьшим) значением и на интервале , а если на конце отрезка , то на интервале  наибольшего (наименьшего) значения функция не имеет.

2. На практике часто встречается такой случай, когда внутри интервала   заданная непрерывная функция имеет только одну точку экстремума. Тогда помогает следующая теорема.

Теорема. Пусть функция , непрерывная на интервале , имеет на этом интервале только одну точку экстремума – точку . Тогда если  - точка максимума, то - наибольшее значение функции  на интервале ; если же  - точка минимума, то   - наименьшее значение функции  на интервале .

2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a,b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.

Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.

Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Выпуклость функции.

Определение 1.   Функция $ f(x)$называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$и $ (x_1;f(x_1))$при $ x_0,x_1\in(a;b)$.

Пусть $ x_0<x_1$. Тогда любую точку отрезка $ [x_0;x_1]$можно задать как $ {x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0}$, $ {\alpha}\in[0;1]$, а любую точку хорды- как $ {(x_{{\alpha}};{\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$. Выражение $ {\ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$задаёт линейную функцию переменного $ {x=x_{{\alpha}}}$, график которой на отрезке $ {[x_0;x_1]}$совпадает с хордой.

То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что

$\displaystyle f(x_{{\alpha}})\leqslant \ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))$

(7.4)

при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.

Аналогично определяется выпуклость вверх: функция $ f(x)$называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$и $ (x_1;f(x_1))$при . Это означает, что

$\displaystyle f(x_{{\alpha}})\geqslant \ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0)$

(7.5)

при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.

Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функций

Легко видеть, что функция $ f(x)$вогнута на интервале $ (a;b)$в том и только том случае, когда функция $ g(x)=-f(x)$выпукла на $ (a;b)$.

Вывод уравнения касательной к параболе. Свойство выпуклого параболического зеркала. Общее уравнение линий второго порядка и его частные случаи. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
Математика примеры решений Вычислить определенный интеграл