Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки

Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для f(x) мы не сможем , но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

x=ц(t), (1)

где ц(t)-непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx= ц′(t)dt;докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство:

 (2)

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х на основании равенства (1).

Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по х равны между собой . Находим производную от левой части : Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по х как сложную функцию, где t-промежуточный аргумент. Зависимость t от х выражается равенством (1), при этом  и по правилу дифференцирования обратной функции .

Таким образом, имеем

Следовательно, производные от х от правой и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать.

Функцию  следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).


Нахождение неопределенного интеграла методом интегрирования по частям

Пусть u и v две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле :d(uv)=udv+vdu.Отсюда, интегрируя, получаем или

. (1)

Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла  составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла. Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задачи , и мы покажем на ряде примеров, как это делается.

Пример 1. ? Положим u=x,dv=sinxdx;тогда du=dx,v= -cosx.Следовательно,

.

Замечание. При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство(1) вместо v выражение v+C). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.

Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида

некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.

Гипербола. Определение, вывод канонического уравнения, связь между параметрами, исследование формы по уравнению, различные возможности расположения гиперболы относительно координатных осей. Парабола. Определение, вывод канонического уравнения, связь между параметрами, исследование формы по уравнению, различные возможности расположения параболы относительно координатных осей.
Математика примеры решений Вычислить определенный интеграл