Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Правило Лапласа.

Теорема Лапласа

Пусть матрице А порядка n произвольно выбраны k строк,1£k£n-1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна detA.Те если i1,…ik – выбранные строки, то detA= (1),

где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов j1,….jk, 1£j1<j2<…<jn£n

Формула (1) называется формулой разложения определителя по k-й строке i1,…ik. Нахождение ранга матрицы. При решении задачи нахождения ранга матрицы одним из самых эффективных методов также является применение общего метода Гаусса.

Обратная матрица.

Теорема. Всякая невырожденная (т.е. определитель которой отличен от нуля) квадратная матрица A имеет обратную матрицу A-1, которая находится по формуле:

(5.1)

при этом A٠A-1=A-1٠A=E.

Правило (алгоритм) нахождения обратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица .

Шаг 1-ый. Вычислим det(A) и убедимся при этом, что det(A)≠0 , то есть матрица A - невырожденная.

Шаг 2-ой. Подсчитаем алгебраические дополнения Aij для всех элементов aij матрицы A и составляем матрицу

.

Шаг 3-ий. Транспонируем матрицу и образуем присоединенную матрицу

Шаг 4-ый. Составляем обратную матрицу по следующему правилу:

(5.2)

Операции над матрицами, их свойства. Элементарные преобразования матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы Лапласа и аннулирования. Определение и формула для нахождения . Метод обратной матрицы, метод Крамера для решения систем ЛАУ.
Математика примеры решений Вычислить определенный интеграл