Понятие дифференциала функции

Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальное уравнение

 (1)

называется автономным, если функция f зависит только от переменной у, т.е. если уравнение имеет вид

 (2)

Уравнения такого типа часто встречаются на практике. На­пример, если дифференциальное уравнение описывает динамиче­ское действие некоторого закона природы, то естественно предположить, что сам закон не будет изменяться в течении времени, и потому в запись правой части (2) время х не входит.

Ниже мы будем предполагать, что для функция f(y) выполне­ны условия, обеспечивающие существование и единственность решения уравнения (2) при произвольном значении переменной y, т.е. положим, что функция f(y) имеет непрерывную произ­водную при любом y. Пусть, кроме того, нули функ­ции f(y) (корт уравнения f(y) =0) не имеют предельных точек, т.е. все они отстоят друг от друга не менее, чем на заданную положительную величину.

Будем предполагать, что уравнение (2) описывает процесс движения точки по прямой Оу, которая называется также фазовой прямой (переменная х обозначает время). В этом случае у' — это скорость движения точки. Согласно (2) она зависит только от координаты точки и не зависит ст значения текущего момента времени. Найти решение уравнения , удовлетворяющее граничному условию

Особую роль в проводимом анализе будут играть нули функ­ции f(y). Убедимся в том, что если f(a)=0 и точка в некоторый момент времени имеет координату у0=a, то с течением времени х она не меняет своего положения на фазовой прямой (оси Оу).

Действительно, проверяем подстановкой, что у=а — решение уравнения (2). Но решение y=a=const как раз и описывает точку, не меняющую с течением времени  своего положения. Воину изложенных причин нули функции f(y) называются также положениями равновесия кии стационарными точками.

Пусть a, b, с,... нули функции f(y). Прямые у=а, у=b, у=с. ... разбивают всю координатную плоскость на полосы, расположен­ные параллельно оси абсцисс. Рассмотрим особенности инте­гральных кривых, заполняющих одну ил таких полос. Так как функция f(y) непрерывна, то согласно (2) производная у' знакопостоянна на произвольном интервале между положениями равновесия. Поэтому все интегральный кривые, лежащие в одной полосе, задаются либо только возрастающими, либо только убывающими.

Неполные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка  называются неполными, если в нем не содержится (явно) или сама функция у, или независимая переменная х.

В том случае, когда правая часть дифференциального уравнения не содержит самой функции у, оно принимает вид:

или, или .

Отсюда .

Таким образом, получено общее решение неполного дифференциального уравнения. Фактически это задача об отыскании первообразной функции (т.е. это непосредственно задача неопределенного интеграла).

Во втором случае, т.е. когда дифференциальное уравнение имеет вид , т.е. в уравнение явно не входит независимая переменная х.

Дифференциальное уравнение принимает вид , т.е. получаем у – как независимую переменную, а х – как функцию от у (фактически это обратная функция по отношению к функции у от х).

Ранг матрицы. Различные формы определения ранга. Определение минора, базисного минора. Теорема о базисном миноре. Свойства ранга. Критерий Кронекера-Капелли. Существование ненулевого решения однородной системы. Фундаментальная система решений однородной системы. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение. Квадратичная форма и ее каноническая форма. Знакоопределенные квадратичные формы.
Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям