Понятие дифференциала функции

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим многочлен

,

он называется однородным степени n, если все его члены имеют один и тот же порядок n, то есть для каждого аij×хi×уj имеем i+j=n. Тройные и двойные интегралы при решении задач Замена переменной в определенном
интеграле

Определение 1.4. Функция Р(х,у) называется однородной степени n, если для любого k - числа - имеет место тождество

Р(k×х,k×у) = kn×P(x,y).

Пусть дано уравнение

 Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0. (1.8)

 Если P(x,y),Q(x,y) - однородные функции одной и той же степени n, тогда (1.8) является однородным уравнением первого порядка.

Для решения таких уравнений пользуются подстановкой  или , которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейное уравнение имеет вид:

а(х)×у/ + b(х)×y + c(x) = 0, (1.9)

где а(х), b(x), c(x) - заданные функции.

Если а(х) ¹ 0, то это уравнение можно записать в приведенном виде:

у/ + Р(х)×у = f(x), (1.10)

где ,

тогда f(x) - свободный член.

Пусть Р(х) и f(x) в (1.10) непрерывны на (a,b).

Будем искать решение в виде y = u×v, где u - ненулевое решение соответствующего однородного уравнения

u/ + P(x)×u = 0, (1.11)

a v - неизвестная функция. Тогда

y/ = u/×v + v/×u. (1.12)

Подставим в (1.10) эти выражения. Получим

u/×v + v/×u + P(x)×u×v = f(x) (1.13)

v × (u/+P(x)× u) + u×v/  = f(x)

Учитывая, что имеет место (1.11), получим

u×v/ = f(x). (1.14)

Следует u подобрать так, чтобы коэффициент при v был равен нулю.

Из (1.11) и (1.14) находим u и v, подставляем в y = u×v, причем u есть конкретное решение,  отличное от нуля.

Ранг матрицы. Различные формы определения ранга. Определение минора, базисного минора. Теорема о базисном миноре. Свойства ранга. Критерий Кронекера-Капелли. Существование ненулевого решения однородной системы. Фундаментальная система решений однородной системы. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение. Квадратичная форма и ее каноническая форма. Знакоопределенные квадратичные формы.
Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям